Rappel sur les systèmes asservis

...

Réponse harmonique :

La réponse harmonique est obtenue pour une entrée sinusoïdale,

u(t)=U_0 sin(ωt) , on obtient une réponse fréquentielle y(t) =Y_0 sin(tω+ϕ)

Quelques caractéristiques d’un système linéaire

Ordre du système :

Soit H(p) une fonction de transfert de la forme suivante :

H(p)=(a_m p^m+⋯+a_1 p+a_0)/(b_n p^n+⋯+b_1 p+b_0 ) avec n≥m

où n est l’ordre du système. C’est la plus grande puissance de p dans le dénominateur.

Forme canonique d’une fonction de transfert :

La forme canonique de H(p) se présente sous la forme suivante :

H(p)=(Y(p))/(U(p))=K.1/p^α (1+⋯c_m p^m)/(1+⋯+d_(n-α) p^(n-α) )

où α est le nombre d’intégrateur dans le système. Si H(p) est en boucle ouverte alors :

α est appelée la classe du système

k est appelé le gain statique du système.

Pôles et zéros d’un système :

Soit la fonction de transfert

H(p)=(a_m p^m+⋯+a_1 p+a_0)/(b_n p^n+⋯+b_1 p+b_0 )=(N(p))/(D(p))

Les pôles du système : sont les valeurs de ’’p’’ pour lesquels le dénominateur D(p) s’annule. Ce sont les solutions de l’équation caractéristique du système D(p) =0.

Les zéros du système : sont les valeurs de ’’p’’ pour lesquels le numérateur N(p) s’annule. Ce sont les solutions de l’équation N(p) =0.

La position des pôles dans le plan complexe influe sur la forme de la réponse indicielle du système.

Diagramme fonctionnel :

Système en boucle fermée:

Formule de Black

Système perturbé:

P(p) est une entrée de perturbation.

En appliquant le théorème de superposition on obtient une relation qui relie l’entrée à la sortie :

Réduction et simplification d’un diagramme fonctionnel:

Elément en cascades :

Eléments en parallèles

Retrait d’un élément d’une chaîne d’action :

Retrait d’un élément d’une boucle de retour :

Déplacement d’un comparateur en amont d’un élément :

Disposition des comparateurs :

Déplacement d’un comparateur en aval d’un élément.

Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un élément.

Déplacement d’un point de dérivation en aval d’un élément

Performances des systèmes asservis :

Pour caractériser un système, on utilise trois paramètres :

Stabilité : c’est-à-dire son aptitude à évaluer vers une sortie constante lorsqu’on lui applique une entrée constante.

Précision : c’est-à-dire sa capacité à suivre les variations de l’entrée.

Rapidité : c’est-à-dire à laquelle il évolue vers un état stable.

Stabilité d’un système :

Un système linéaire est stable si la réponse à une entrée bornée est un signal borné.

Théorème :

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative.

Exemple : Soit le système suivant:

Pour savoir si le système est stable en boucle fermée, il faut déterminer sa FT en boucle fermée :

Solution:

Soit H(p) la fonction de transfert en boucle fermée.

Recherche des pôles :

La partie réelle est négative  système stable.

Remarque:

Le calcul des racines de l’équation caractéristique n’est pas toujours évident, d’ou le recours à un critère algébrique (critère de Routh) qui permet de conclure sur le signe de la partie réelle des racines de l’équation caractéristique.

Critère algébrique de stabilité : Critère de Routh:

1ère condition:

Tous les coefficients sont présents et de même signe.

2ème condition:

Connaissant les coefficients qui constituent le polynôme D(p) on trace le tableau de Routh suivant formé par n+1 lignes.

pn an

an-2 an-4 … a1

pn-1 an-1 an-3 an-5 … a0

pn-2

…

pn-3

…

p0 …

Critère