Projet d'analyse numérique (méthode de Trapez et Simpson)

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Tout l’art de l’analyse numérique consiste à trouver un algorithme stable pour résoudre un problème mathématique bien posé. Un art apparenté est de trouver des algorithmes stables permettant de résoudre des problèmes mal posés, ce qui requiert généralement la recherche d'un problème bien posé dont la solution est proche du problème mal posé, puis de résoudre à la place ce second problème bien posé.

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On veut calculer l’énergie émise dans le spectre compris entre les longueurs d’ondes de 3µm et 14µm par un corps noir, objet capable d’émettre dans tout le spectre, à la température ambiante.

La résolution de ce problème est obtenue en calculant :

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Où x est la longueur d’onde et T la température du corps noir. On désire calculer E(T) pour T compris entre -60 et 90 degré Celsius.

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Dans notre projet nous allons aborder l’une des disciplines de l’analyse numérique qui est le calcul d’intégrale numérique. L’intérêt de cette discipline réside dans le fait que pour certaine fonction il est difficile de trouver une primitive pour un calcul analytique aisé et que dans la récolte de données de problèmes physiques l’on dispose, non pas d’une fonction continue à intégrer, mais un nuage de point : passage au cas discret. Pour le calcul de l’intégrale numérique nous disposons de plusieurs méthodes .Dans le cas de notre projet nous s’intéresserons à la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson. Le but final de notre étude est d’évaluer et comprendre les deux méthodes.

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MATLAB est un environnement puissant, complet et facile à utiliser destiné au calcul scientifique. Il apporte aux ingénieurs, chercheurs et à tout scientifique un système interactif intégrant calcul numérique et visualisation. C'est un environnement performant, ouvert et programmable qui permet de remarquables gains de productivité et de créativité.

Quelles sont les particularités de MATLAB par rapport aux autres langages?

MATLAB permet le travail interactif soit en mode commande, soit en mode programmation ; tout en ayant toujours la possibilité de faire des visualisations graphiques. Considéré comme un des meilleurs langages de programmations (C ou Fortran), MATLAB possède les particularités suivantes par rapport à ces langages :

• la programmation facile,

• la continuité parmi les valeurs entières, réelles et complexes,

• la gamme étendue des nombres et leurs précisions,

• la bibliothèque mathématique très compréhensive,

• l’outil graphique qui inclut les fonctions d’interface graphique et les utilitaires,

• la possibilité de liaison avec les autres langages classiques de programmations (C ou Fortran).

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- Explication de la méthode :

Les méthodes de calcul numérique d’une intégrale définie (basées sur la définition de l’intégrale), demeurent pertinentes pour les fonctions n’ayant pas de primitives.

Celles-ci utilisent des approximations similaires aux sommes de Riemann.

On utilise cependant des figures géométriques différentes des rectangles en espérant améliorer l’approximation. Pour cela on recourt à la méthode des trapèzes.

Les premières constatations étaient qu’un rectangle est constitué au sommet d’un segment horizontal, alors que la fonction est généralement croissante ou décroissante dans le sous intervalle correspondant.

De ce fait la méthode des trapèzes consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide d’une somme d’aires de trapèzes, ce qui donne habituellement de meilleurs résultats qu’avec des rectangles.

L’illustration ci-dessous donne une idée de quoi s’agit-il : [pic 35][pic 36]

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L’aire sous la courbe est approximativement égale

à la somme des aires des trapèzes

L’aire sous la courbe est approximativement égale à la somme des aires des trapèzes.

Avec une partition régulière de [a,b] en n sous-intervalles, on obtient :

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- Mise en œuvre de la méthode :[pic 39][pic 40]

- Approche mathématique:

Dans ce projet, on estime calculer :

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pour tout -60°C≤T≤90°C

Posant : f(x,T)= [pic 42]

Pour calculer E(T), en utilisant la méthode de

Trapèzes, il faut calculer d’abord les f(xi,T)

On choisit : n=10

On a :

x0= 0.0003 ; xn = 0.0014 ; n= 10

xi = x0 + i*h

Or : h = (xn-x0)/n = 0.00011

xi = 0.0003 + 0.00011*i

Calcule des f(xi,T) :

f(x0,T)=[pic 43]

f(x10,T)=[pic 44]

pour tout 1≤i≤9 :[pic 45][pic 46]

f(xi,T)=[pic 47]

Donc :

Et(T)=[pic 48]

On prend l’exemple de T= -30°C :

f(0.0003,T=-30) = -9835390,947

f(0.0041,T=-30) = -2062902,097