Descriptif de bandes interdites photoniques

...

Nous pouvons alors écrire l’équation d’Helmholtz pour une onde polarisée TM dans le repère orthogonal (O,x,y) sous la forme :

[pic 31] (12)

En décomposant en onde plane les termes de gauche et de droite de l’égalité de l’Eq.12 on obtient [6][7] :

[pic 32] (13)

où [pic 33]

Sous forme matricielle, l’Eq.13 devient :

[pic 34] (14)

Ce résultat nous permet d’obtenir les fréquences autorisées à se propager dans le cristal photonique en calculant les valeurs propres de la matrice A de l’Eq.14.

c. Exemple de diagramme de bande pour une onde polarisée TM

L’équation 14 est de la forme[pic 35]. Dire que [pic 36]est valeur propre de A signifie qu’il existe un vecteur E, non nul, tel que[pic 37].

Pour obtenir les fréquences autorisées à se propager dans le cristal photonique, on cherchant les valeurs propres de la matrice A de l’Eq.14. Celles-ci nous permettront de fournir les valeurs possibles [pic 38] [7].

Le diagramme de bande sera obtenu en balayant par le vecteur phaseur [pic 39] l’ensemble des directions de l’espace et en résolvant l’Eq. 14 pour chaque couple[pic 40]. Théoriquement, il suffit que le vecteur k balaye un secteur défini par le contour de la première zone de Brillouin pour obtenir toutes les informations nécessaires au tracé du diagramme de bandes.

Exemple : Réseau carré

Les points remarquables de la première zone de Brillouin du réseau carré sont les points de haute symétrie Γ, X et M.

[pic 41]

Figure 02 : Représentation des réseaux direct et réciproque, et de la première zone de Brillouin d’une structure photonique 2D carrée.

Une étude d’un matériau structuré sur la base d’un réseau carré de tiges carrées est proposée. Le pas a du réseau est de 1,85 mm et les tiges carrées ont un côté égal à 0,74 mm et une permittivité de[pic 42]. Ces tiges sont entourées d’air [8].

En théorie, la décomposition en ondes planes utilisant le principe de la série de Fourier fait intervenir une infinité de vecteurs[pic 43].

Dans notre cas, le problème est réduit à un nombre fini de vecteurs [pic 44] et les valeurs propres fournissent les fréquences autorisées.

La structure de bande obtenue à la Fig.03, fait apparaître une bande interdite totale. C'est-à-dire pour une incidence quelconque de l’OEM aucune onde de fréquence entre 47,1 GHz et 65,6 GHz ne pourra se propager.

[pic 45]

Figure 03 : Diagramme de bande d’un matériau 2D excité par une onde polarisée TM

3.2. Etude pour un mode TE

a. Equation de propagation du champ magnétique

En considérant une onde polarisée TE se propageant dans un plan (O,x,y) et d’après les relations de Maxwell Eq.08 et Eq.09, nous pouvons écrire [6] :

[pic 46] (15)

D’où l’Eq15 devient :

[pic 47] (16)

Chaque terme de l’Eq.16 peut être développé en série de Fourier. Si le champ H est défini suivant une seule composante [pic 48], il vient :

[pic 49] (17)

Nous obtenons alors sous forme matricielle [5][6]:

[pic 50] (18)

Une recherche de valeurs propres dans la matrice B de l’Eq.18 nous donne les valeurs possibles de [pic 51]. Elles correspondent aux fréquences de l’onde permise à se propager dans le matériau photonique pour un couple [pic 52]donné.

b. Exemple de diagramme de bande pour une onde polarisée TE

L’équation 18 est de la forme [pic 53]. Dire que [pic 54]est valeur propre de A signifie qu’il existe un vecteur E, non nul, TEl que[pic 55], ce qui est équivalent à

[pic 56] (19)

Pour obtenir les fréquences autorisées à se propager dans le Bips, on réalise une recherche des valeurs propres de la matrice B de l’Eq.19.

Exemple : Réseau triangulaire

La figure 04 représente d’une part les réseaux direct et réciproque, et d’autre part la première zone de Brillouin du réseau triangulaire dont les points de haute symétrie Γ, P et Q.

[pic 57]

Figure 04 : Réseaux direct et réciproque, et première zone de Brillouin d’une structure photonique 2D triangulaire

Le matériau est structuré sur la base d’un réseau triangulaire de tiges à section circulaire. Le pas a du réseau est de 1,85 mm et les tiges de section circulaire ont un rayon égal à 0,74 mm et une permittivité de [pic 58][7]. Ces tiges sont entourées d’air. Nous obtenons alors le diagramme de bande de la Fig.05, qui fait apparaître qu’aucune onde ne pourra se propager entre 36,9 GHz et 45,01 GHz.

[pic 59]

Figure 05 : Diagramme de bande d’un matériau 2D infini excité par une onde polarisée TE

4. Surface de dispersion

Comme dans le cas du calcul de fréquences permettant d’obtenir le diagramme de bande, nous allons faire l’étude d’une onde polarisée TM, puis celle d’une onde polarisée TE. Nous finirons par l’étude d’un réseau carré à deux dimensions pour des modes TM et pour plusieurs fréquences.

4.1. Calcul des contours de dispersion pour une onde polarisée TM

Nous considérons un matériau à BIPs ayant une permittivité [pic 60] périodique à deux dimensions. Alors les champs électrique et magnétique d’une onde se propageant dans un TEl matériau peuvent être développés, à une fréquence ω donnée, en série de Fourier spatiale dans un repère