Olympiades 1ère S 2004

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3) Et en fait si u et v sont 2 entiers (naturels ou relatifs!) distincts on aura (u-v)2≤1 uniquement si u et v sont 2 entiers consécutifs : c'est la condition pour que u et v entiers distincts soient échangeables.

Terminons par 2 remarques :

remarque 1

On peut vérifier que le résultat est bien vrai pour des entiers négatifs ; par exemple si u=-11 et v=-10 on obtient b=((-22)2-4×110))/4=11 et a= -11+√(-10+11)=-10 et f(x)=-10-√(11+x) qui vérifie bien f(-10)=-11 et f(-11)=-10.

remarque 2

D'une façon générale si u et v sont 2 entiers consécutifs avec u√(x-u)=v-√(x-u) qui vérifie bien f(u)=v et f(v)=u.

Solution exercice 2

1) Les quantités introduites par l'énoncé x et y peuvent suggérer de fonctionner analytiquement : prenons donc comme repère le repère orthonormé d'origine A avec pour axe des abscisses la droite (AB) orientée de A vers B, et pour axe des ordonnées la droite (AD) orientée de A vers D.

On a donc A(0,0) B(4,0) C(4,6) D(0,6) R(x,0) T(0,y) et S(4,s).

Bien entendu l'énoncé se traduit par le fait que S et A sont symétriques par rapport à la droite (RT), S ne pouvant être en B car (RT) ne peut être paralléle à (AD) et donc s>0.

Evaluons x et y en fonction de s : pour cela je détermine l'équation de la médiatrice de [AS] en écrivant par exemple que le point M(X,Y) est sur cette médiatrice équivaut à dire qu'il est équidistant de A et S donc X2+Y2=(X-4)2+(Y-s)2 ce qui donne comme équation 8X+2sY-16-s2=0 et

en faisant Y=0 on obtient l'abscisse de R soit x=2+s2/8 (donc s et x varient dans le même sens, puisque la fonction s→s2 est strictement croissante sur R+).

(cette relation s'obtient aussi par Pythagore dans le triangle SBR : x2=s2+(4-x)2)

en faisant X=0 on obtient l'ordonnée de S soit y=8/s+s/2

Les valeurs admissibles de s doivent donc être telles que

a) x≤4 (quelque soit s>0 on a x>0), soit s2≤16 et donc 0≤4

b) y≤6 (quelque soit s>0 on a y>0), soit 8/s+s/2≤6 soit (puisque s>0) s2-12s+16≤0, et donc (voir signe d'un trinôme) s∈[6-2√5;6+2√5], mais comme par ailleurs s ne peut dépasser 4

il faut que s∈[6-2√5;4] :

la valeur minimum de x correspond à la valeur minimum de s soit xm=2+(6-2√5)2/8=3(3-√5) soit environ 2,2918 et pour cette valeur de s on a y=8/s+s/2=6, c'est-à-dire T est en D et S(4,6-2√5).

la valeur maximum de x est xM=4 qui correspond à la valeur maximale 4 de s : dans ce cas S(4,4) et T(0,4), c'est-à-dire ABST est un carré, [BT] et [AS] étant ses diagonales.

2) Comme y et s sont positifs la relation y=8/s+s/2 équivaut à y2=64/s2+s2/4+8 et compte tenu du fait que s2=8(x-2) on obtient y2=8/(x-2)+2(x-2)+8=2x2/(x-2).

3) L'aire du triangle SRT étant xy/2 (le symétrique d'un triangle rectangle est un triangle rectangle!), cette aire sera minimum si et seulement son carré est minimum soit si f(x)=(xy)2=2x4/(x-2) est minimum : un petit tableau de variation (f ' (x)=2x3(3x-8)/(x-2)2) montre que f a effectivement un minimum pour x=8/3.

Dans ce cas on vérifie AT=AS, en effet :

AT2=y2=2x2/(x-2)=(128/9)/(2/3)=64/3

AS2=16+s2=16+8(x-2)=16+8×2/3=64/3

et comme le triangle AST était déjà isocèle, il est équilatèral.

remarque

Les résultats des questions 1 et 2 peuvent aussi s'obtenir en écrivant que l'aire du carré ABCD est la somme des aires du trapèze CDTS et des triangles RAT, RST,SBR

présentation olympiades