Langage des ensembles
Par Raze • 19 Avril 2018 • 760 Mots (4 Pages) • 546 Vues
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= A (B A)
III – Produits Cartésiens
1/ On connaît[pic 7] ² et[pic 8] 3
Exemple :
Résoudre dans[pic 9] ²
{x + 3y = 5
{-x + 2y = -1
2/ Définition du produit cartésien
Soit E et F deux ensembles.
Définition :
On appelle Produit Cartésien de E par F l'ensemble de tous les couples (x ; y) tel que x E et y F.
On note E F = {(x ; y) ; x E ; y F}
croix
Exemple :
Soit E { a ; b ; c } et F { 1 ; 2 }
E F = {(a;1) ; (a;2) ; (b;1) ; (b;2) ; (c;1) ; (c;2)}
F E = {(1;a) ; (1;b) ; (1;c) ; (2;a) ; (2;b) ; (2;c)}
Donc E F F E
Cas particulier :
[pic 10][pic 11] =[pic 12] ²
[pic 13]² {(x;y) ; x [pic 14] ; y [pic 15] }
et[pic 16] [pic 17] [pic 18] =[pic 19] 3
[pic 20]3 {(x;y;z) ; x [pic 21] ; y [pic 22] ; z [pic 23] }
IV – Relations d'un ensemble vers un autre ensemble
Exemple :
f E ensemble de départ
F ensemble d'arrivé x f(x) x antécédent
E F f(x) image de x
1/ Définition d'une fonction
SoitE etF deux ensembles etf une relation deE versF
Définition :
fest appelé fonction si tout élémentx appartenant àE est en relation avec au maximum 1 *élément deF .
Exemple :
f(x)=1x
*x=0 n'a pas d'image dansF
* Et toutes les autres valeurs ont une images.
Doncf(x)=1x est une fonction deℝ versℝ
2/ Définition d'une application
Soitf:E→F
Définition :
fest une application si tout élémentxdeEa une et une seule image dansF .
Exemple :
Ainsif(x)=1x
six∈ℝ∖{0} oux∈ℝ
fdevient une application.
3/ Images et images réciproque d'un ensembles
a) Images d'un ensembles
Soitf:E→F etA⊂E
A
E f F
f(A)={f(x);∀x∈A}
Application :
n°37p130 (1.)
b) Images réciproques d'un ensemble
La réciproque def est notéef−1 (etf−1:E→F)
Soitf:E→F etB⊂F
B
E F
f−1(B)={f−1(x);∀x∈B}
Application :
n°37p130 (2.)
4/ Propriétés des applications
a) Application injective (injection)
Définition :
Soitf:E→F
fest injectives
ssi∀x1∈E et∀x2∈E,(f(x1)=f(x2))⇒(x1=x2)
Rappel :
(p⇒q)⇔(¬q⇒¬p)
La contraposée de la propriété :
∀x1∈Eet∀x2∈E,(x1≠x2)⇒(f(x1)≠f(x2))
En langage courant :
2 Antécédents différents ont 2 images différentes.
Application :
n°37p130 (3.)
b) Application surjective (surjection)
Définition :
Soitf:E→F
fest surjectives
ssi∀y∈F∃x∈E tel quef(x)=y
En
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