Langage des ensembles

...

= A  (B  A)

III – Produits Cartésiens

1/ On connaît[pic 7] ² et[pic 8] 3

Exemple :

Résoudre dans[pic 9] ²

{x + 3y = 5

{-x + 2y = -1

2/ Définition du produit cartésien

Soit E et F deux ensembles.

Définition :

On appelle Produit Cartésien de E par F l'ensemble de tous les couples (x ; y) tel que x  E et y  F.

On note E  F = {(x ; y) ; x  E ; y  F}

croix

Exemple :

Soit E { a ; b ; c } et F { 1 ; 2 }

E  F = {(a;1) ; (a;2) ; (b;1) ; (b;2) ; (c;1) ; (c;2)}

F  E = {(1;a) ; (1;b) ; (1;c) ; (2;a) ; (2;b) ; (2;c)}

Donc E  F  F  E

Cas particulier :

[pic 10][pic 11] =[pic 12] ²

[pic 13]² {(x;y) ; x [pic 14] ; y [pic 15] }

et[pic 16] [pic 17] [pic 18] =[pic 19] 3

[pic 20]3 {(x;y;z) ; x [pic 21] ; y [pic 22] ; z [pic 23] }

IV – Relations d'un ensemble vers un autre ensemble

Exemple :

f E ensemble de départ

F ensemble d'arrivé x f(x) x antécédent

E F f(x) image de x

1/ Définition d'une fonction

SoitE etF deux ensembles etf une relation deE versF

Définition :

fest appelé fonction si tout élémentx appartenant àE est en relation avec au maximum 1 *élément deF .

Exemple :

f(x)=1x

*x=0 n'a pas d'image dansF

* Et toutes les autres valeurs ont une images.

Doncf(x)=1x est une fonction deℝ versℝ

2/ Définition d'une application

Soitf:E→F

Définition :

fest une application si tout élémentxdeEa une et une seule image dansF .

Exemple :

Ainsif(x)=1x

six∈ℝ∖{0} oux∈ℝ

fdevient une application.

3/ Images et images réciproque d'un ensembles

a) Images d'un ensembles

Soitf:E→F etA⊂E

A

E f F

f(A)={f(x);∀x∈A}

Application :

n°37p130 (1.)

b) Images réciproques d'un ensemble

La réciproque def est notéef−1 (etf−1:E→F)

Soitf:E→F etB⊂F

B

E F

f−1(B)={f−1(x);∀x∈B}

Application :

n°37p130 (2.)

4/ Propriétés des applications

a) Application injective (injection)

Définition :

Soitf:E→F

fest injectives

ssi∀x1∈E et∀x2∈E,(f(x1)=f(x2))⇒(x1=x2)

Rappel :

(p⇒q)⇔(¬q⇒¬p)

La contraposée de la propriété :

∀x1∈Eet∀x2∈E,(x1≠x2)⇒(f(x1)≠f(x2))

En langage courant :

2 Antécédents différents ont 2 images différentes.

Application :

n°37p130 (3.)

b) Application surjective (surjection)

Définition :

Soitf:E→F

fest surjectives

ssi∀y∈F∃x∈E tel quef(x)=y

En