La programmation linéaire
Par Orhan • 11 Octobre 2018 • 2 161 Mots (9 Pages) • 506 Vues
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Ex2 Une usine produit deux types de produits finis x et y à partir d’une même matière première. Les produits x et y lui rapportent à la vente respectivement 8 et 4 euros le litre. La quantité de x et y produits est limitée par le stock de matière première disponible et par la durée du temps de travail. La fabrication d’un litre de produit x (resp. y) nécessite 1 kg (resp. 1kg) de matière première. Il faut 15 heures de travail pour fabriquer 100 de x tandis qu’il faut 3 heures pour fabriquer 100 de y. on dispose de 1 tonne de matière première et de 45 heures de travail chaque semaine.
- Utiliser la méthode du simplex pour maximiser le profit hebdomadaire.
Solution
On note x et y les quantités en litre de produits finis.
La fonction économique à maximiser qui représente le bénéfice brut est : [pic 69]
Sous les contraintes : ou [pic 70][pic 71]
On ajuste les variables négligentes[pic 72]
Donc : [pic 73]
On a le tableau simplex initial
x y P Si[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 74][pic 75]
1 1 1 0 0 1000 [pic 81][pic 80]
15 3 0 1 0 4500 [pic 83][pic 84][pic 82]
-8 -4 0 0 1 0 [pic 85]
L1 = l1 - l2 0 4/5 1 -1/15 0 700 [pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 86]
L2 = (1/15)l2 1 1/5 0 1/15 0 300 [pic 94][pic 93]
L3 = l3 + 8l2 0 -2.4 0 8/15 1 2400 [pic 95]
[pic 96][pic 97][pic 98]
L1 = (5/4)l1 0 1 5/4 -1/12 0 875 [pic 99]
L2 = l2 – (1/5)l1 1 0 -1/4 1/12 0 125 [pic 100]
L3 = l3 + 2.4l1 0 0 3 1/3 1 4500
Donc, il faut produire 125 litres de produit x et 875 litre de produit y pour maximiser le bénéfice à 4500 euros. On a pleinement utilisé le stock et la main d’œuvre.
Ex3
Plan de production de moteurs
On fabrique des moteurs. Il y a deux types des moteurs. On désigne par x1 et x2 les quantités de moteurs des deux types A et B qui vont être produites. L’objectif est de maximiser la marge totale: Max (50X1 + 25X2).Il y a d’autre part une contrainte de marché qui impose un quota maximal sur le nombres de moteurs de type A: x1 1800. Le plan de production de moteurs est comme suite : [pic 101]
Plan de production de moteurs
Temps opératoire unitaire pour le modèle A
Temps opératoire unitaire pour le modèle B
Temps disponible (en heures)
Emboutissage
50 mn
40 mn
2500 h
Soudure
30 mn
20 mn
1000 h
Peinture
20 mn
10 mn
800 h
En utilisent la méthode du simplexe, calculons les marges bénéficiaires résultant de ces fabrications.
REPONSE
On trouve donc : Max(50x1 + 25x2)
Les temps sont en minutes et les coûts sont exprimés à l’heure.
Il y a des contraintes de disponibilité qui s’expriment de la manière suivante (en mettant tous les temps en minutes) :
50x1 + 40x2 250060[pic 104][pic 102][pic 103]
30x1 + 20x2 1000 60[pic 105][pic 106]
20x1 + 10x2 800 60[pic 107][pic 108]
X1 1800[pic 109]
50x1 + 40x2 150000[pic 111][pic 110]
30x1 + 20x2 60000[pic 112]
20x1 + 10x2 48000[pic 113]
X1 1800[pic 114]
Le tableau de démarrage du simplexe s’écrit comme ceci :
X1 X2 1 2 3 4 P S1[pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]
50 40 1 0 0 0 0 150,000
30 20 0 1 0 0 0 60,000
20 10 0 0 1 0 0 48,000
1 0 0 0 0 1 0 1,800[pic 123]
-50 -25 0 0 0 0 1 0
0 40 1 0 0 -50 0 60,000[pic 124][pic 125][pic 126][pic 127]
0 20 0 1 0 -30 0 6,000
0 10 0 0 1 -20 0 12,000
1 0 0 0 0 1 0 1,800
0 -25 0 0 0 50 1 90,000[pic 128]
0 0 1 -2 0 10 0 48,000[pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]
0 1 0 0.05 0 -1.5 0 300
0 0 0 -0.5 1 -5 0 9,000
1 0 0 0 0 1 0 1,800
0 0 0 1.25 0 12.5 1 97,500[pic 133]
On trouve X1 = 1800, X2 = 300
les marges bénéficiaires= 501800 + 25300= 90,000+7,500=97,500[pic 134][pic 135]
Donc : Les marges bénéficiaires résultant de ces fabrications est 97,500[pic 136]
Chapitre 5 Équation différentielle[pic 137]
- Définition
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