Démonstration éxigible
Par Plum05 • 15 Mai 2018 • 2 403 Mots (10 Pages) • 387 Vues
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Fonction exponentielle
Propriété
Il existe une unique fonction dérivable sur telle que et .
Démonstration: L'existence d'une telle fonction est admise, conformément au programme.
Unicité:
Soit et deux fonctions telles que et , et .
La fonction ne s'annule pas sur . En effet, si on définit la fonction par , alors est dérivable sur avec , or , et donc, .
Ainsi, est constante, or , et donc, pour tout réel , .
En particulier, il ne peut exister de réel tel que (car on aurait alors ).
On peut alors définir la fonction , qui est bien définie et dérivable sur car ne s'annule pas.
De plus,
car et
Ainsi, est constante sur , avec , d'où, pour tout réel , .
On a donc : il n'exsite qu'une unique fonction vérifiant et .
Propriété
et .
Démonstration: On démontre pour cela que, pour tout réel , .
Soit la fonction définie sur par .
Alors, est dérivable sur avec , et
- , car la fonction exponentielle est strictement croissantee sur .
- De même, , car la fonction exponentielle est strictement croissantee sur .
On peut ainsi dresser le tableau de variation de :
On en déduit que est le minimum global de sur , et donc que, pour tout réel , .
En particulier, pour tout réel , .
Comme , on a donc, d'après le théorème de comparaison (corollaire du théorème des gendarmes), .
Pour la limite de la fonction exponentielle en , on utilise alors le fait que, pour tout réel , .
Ainsi, si on pose , on a: .
Intégration
Propriété
Soit une fonction continue et positive sur .
La fonction définie sur par est dérivable sur et a pour dérivée .
Démonstration: On démontre cette propriété dans le cas où est une fonction continue, positive et croissante sur (conformément au programme, le cas général étant admis).
Soit un réel de et tel que .
On a, d'après la relation de Chasles pour les intégrales:
étant croissante sur , on a l'encadrement:
soit,
ou encore, en divisant par ,
soit encore, puisque ,
En procédant de même pour , on obtient que .
Comme est continue sur , donc en particulier en , on a , et donc, d'après le théorème des gendarmes, .
est donc dérivable en , avec .
Ceci étant vrai pour tout , on en déduit que est dérivable sur et que .
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur .
Démonstration: On se place dans le cas où et admet un minimum sur .
La fonction définie sur par est donc continue et positive sur .
Elle admet donc une primitive sur (donnée par .)
La fonction définie par et alors une primitive de car,
ce qui montre que admet bien des primitives sur .
Géométrie vectorielle dans l'espace
Le théorème dit du "toit" permet de démontrer que des droites dans l'espace sont parallèles ou concourantes en un point.
Propriété
Théorème «du toit») Si trois plans , et de l'espace sont sécants deux à deux, alors les trois droites d'intersection sont concourantes ou parallèles.
Démonstration: On note la droite intersection des plans et , la droite intersection des plans et , et la droite intersection des plans et .
Considérons, par exemple, dans un premier temps, les droites et . Comme ces deux droites sont coplanaires (elles appartiennent au même plan ), seulement deux cas sont possibles: les droites et sont sécantes ou bien elles sont parallèles (si ces deux droites n'étaient pas coplanaires, elles pourraient aussi n'être ni sécantes, ni parallèles).
1 Cas:
Supposons et sécantes.
Soit le point d'intersection des deux droites et .
On a alors, , donc , car , et de même, , donc , car .
Ainsi, est un point commun aux plans et , soit .
Par conséquent, appartient aussi à la droite qui est l'intersection des plans et .
On en conclut donc que le point appartient à la fois aux trois droites , et , et donc que ces trois droites sont bien concourantes en .
2 Cas:
Supposons et parallèles.
Raisonnons par l'absurde et supposons que les droites et sont sécantes en un point .
On aurait alors, , donc , et de même, , donc .
Ainsi, appartiendrait à la fois aux plans
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