Le nombre dérivé.

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f′(x)=24x3−6x+5

On considère la fonction f définie sur I=]1;+∞[ par f(x)=x+2x−1.

La fonction f est de la forme uv avec u(x)=x+2 et v(x)=x−1.

Comme restrictions de fonctions affines à l’intervalle I, les fonctions u et v sont dérivables sur I, et pour tout réel x∈I,u′(x)=1 et v′(x)=1.

De plus, la fonction v ne s’annule pas sur l’intervalle I.

Par quotient, la fonction f est dérivable sur l’intervalle I, et f′=u′v−uv′v2.

Ainsi, pour tout réel x∈I, on a :

f′(x)=1×(x−1)−(x+2)×1(x−1)2

f′(x)=x−1−x−2(x−1)2

f′(x)=−3(x−1)2

IIILes applications de la dérivation

ALe sens de variation d’une fonction

Signe de la dérivée et variations de la fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

Si f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

Si f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Considérons la f fonction définie sur ℝ par f(x)=5x2−6x+1. Sa fonction dérivée est f’ définie sur ℝ par f′(x)=10x−6.

La dérivée s’annule pour x=35.

Pour tout x∈]−∞;35], 10x−6≤0 donc f est décroissante sur ]−∞;35].

Pour tout x∈[35;+∞[, 10x−6≥0 donc f est croissante sur [35;+∞[.

Signe de la dérivée et stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

Si f′ est positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.

Si f′ est négative et ne s’annule qu’en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Considérons la fonction f définie sur ℝ par f(x)=5x2−6x+1. Sa fonction dérivée est f’ définie sur ℝ par f′(x)=10x−6.

La dérivée s’annule pour x=35.

Pour tout x∈]−∞;35[, 10x−6<0 donc f est strictement décroissante sur ]−∞;35].

Pour tout x∈]35;+∞[, 10x−6>0 donc f est strictement croissante sur [35;+∞[.

BLes extremums locaux d’une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0 et f′ change de signe en a.

Réciproquement, si f′ s’annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f.

Si f′ s’annule en a et passe d’un signe négatif avant a à un signe positif après a, l’extremum local est un minimum local.

Si f′ s’annule en a et passe d’un signe positif avant a à un signe négatif après a, l’extremum local est un maximum local.

Considérons la fonction f définie sur ℝ par f(x)=5x2−6x+1. Sa fonction dérivée est f’ définie sur ℝ par f′(x)=10x−6.

La dérivée s’annule pour x=35.

Pour tout x∈]−∞;35], 10x−6≤0, pour tout x∈[35;+∞[, 10x−6≥0. Donc la dérivée s’annule et change de signe en x=35. La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en 35.

Comme la dérivée de f passe d’un signe négatif à un signe positif en x=35, cet extremum est un minimum local.

f′ peut s’annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C’est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d’abscisse a.

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ILe nombre dérivé

ALe taux d’accroissement

BLa tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point

IILa fonction dérivée

ALa dérivée sur un intervalle

BLes dérivées des fonctions usuelles

CLes opérations sur les dérivées

IIILes applications de la dérivation

ALe sens de variation d’une fonction

BLes extremums locaux d’une fonction

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