FRACTIONS RATIONNELLES

...

On suppose en outre que N (z ) est irréductible, donc que N(z) et D(z) n’ont pas de

dénominateur.

N(z) et D(z) sont des polynômes  p p−1 2 1 0

 n n−1 2 1 n>p de sorte que N (z ) n’admet pas de partie entière.

0

N(z)=azp+a zp−1+...+az2+az+a D(z)=bzn+b zn−1+...+bz2+bz+b

D( z)

Désignons par z1, z2, ... , zr les racines distinctes de D(z), d’ordre respectifs

racine commune. α1,α2,...,αravecα1+α2+...+αr =n.

α1 α2 αr

AlorsD(z)=b (z−z ) (z−z ) ...(z−z ) .C’estlafactorisationdeD(z)dansC.

n12r

Considérons une racine particulière, zi, d’ordre αi. Posons, pour simplifier les

notations zi, = a et αi = α.

Alors α1 α2 αi−1 α αi+1 αr

D(z)=bn(z−z1) (z−z2) ...(z−zi−1) (z−a) (z−zi+1) ... (z−zr) = (z − a)α Q(z)

avec Q(z)=bn(z−z1)α1(z−z2)α2 ... (z−zi−1)αi−1(z−zi+1)αi+1 ...(z−zr)αr et α1+α2 + ...+αi−1+αi+1+ ... +αr =n−α

Degré[Q(z)] = n - α N(z) = N(z) D(z) (z − a)α Q(z)

FRACTIONS RATIONNELLES

73

Effectuons le changement de variable t = z - a, soit z = t + a. Portons z = t + a dans les expressions de N(z), D(z) et Q(z) qui deviennent N(t+a), D(t+a) et Q(t+a). Ce sont désormais des polynômes de la variable t que nous écrirons pour simplifier N(t), D(t) et Q(t). La fraction rationnelle s’écrit:

N(z)=N(t+a)= N(t+a) = N(t) D ( z ) D ( t + a) t α Q ( t + a) t α Q ( t )

La suite du calcul consiste à effectuer la division de N(t) par Q(t) suivant les puissances croissantes, en nous limitant à l’ordre α!- 1, c’est à dire lorsqu’il sera possible de mettre en facteur tα dans l’expression du reste (lorsque le terme de plus bas degré du reste sera au moins de degré α).

Selon la définition de la division non-euclidienne :

N(t)=Q(t)(A +A t+A t2 +...+A tα−1)+tαR(t) 012 α−1

N(t) Q(t)(A +A t+A t2 +...+A tα−1) tαR(t)

= 0 1 2 α−1 + D(t) tαQ(t)

tαQ(t) EnsimplifiantlepremiertermededroiteparQ(t)etlesecondpartα onobtient:

N(t) A0 +A1t+A2t2 +...+Aα−1tα−1 R(t) D(t) = tα + Q(t)

=A0+A1 +A2 +...+Aα−1+R(t) tα tα−1 tα−2 t Q(t)

En revenant à la variable d’origine, z, avec t = z - a: N(z)  A0 A1 A2

Aα−1  R(z) D(z) = (z−a)α + (z−a)α−1 + (z−a)α−2 +...+ (z−a)+ Q(z)

Le terme entre crochets porte le nom de partie principale relative au pôle z = a, d’ordre α. On réitère alors le procédé, sur la fraction R(z) pour un autre pôle.

Q(z) Exemple: z−1 = z−1 = −2 + 3 − 3

3222

z +4z +5z+2 (z+1)(z+2) (z+1) (z+1) (z+2)

4. Décomposition sur C d’une fraction rationnelle irréductible en éléments simples de première espèce

a) Définition

Soit la fraction rationnelle irréductible

admettant les pôles z1,z2, ... ,zr

P (z ) , Q(z) étant un polynôme de degré n Q(z)

d’ordres

respectifs α1,α2, ... ,αr avec FRACTIONS RATIONNELLES

74

α1 +α2 + ... +αr = n, alors P(z) est la somme de sa partie entière E(z) et des Q(z)

parties principales Fαi relatives aux pôles zi d’ordre αi. zi

b) Exemple de décomposition en éléments simples de première espèce

P(z) =E(z)+Fα1 +Fα2 + ... +Fαr Q(z) z1 z2 zr

Fαi = A0 + A1 + A2 + ... + Aαi−1 z i ( z − z i ) α i ( z − z i )α i −1 ( z − z i ) α i − 2 ( z − z i )

Soit la fraction rationnelle irréductible P(z) = z . Q(z) (z −1)3(z2 +1)

Elle admet 3 pôles distincts: z = 1, z = j, z = -j. Considérons le pôle z = 1. C’est un pôle d’ordre 3.

Posons t = z - 1. La fraction rationnelle devient : P(z) = t +1 = Q(z) t3[(t+1)2 +1]

t +1 t3(t2 +2t+2)

On divise (t + 1) par (t2 + 2t + 2) selon les puissances croissantes, à l’ordre 2:

1t2t3 t4 1+t=(2+2t+t2) − + +

2424

1 t2

(2+2t+t2) −  1 t  t3+

P(z)= 1+t = Q ( z ) t 3 (2 + 2 t + t 2 )

1 − t2 1 + t

P(z)=2 4+ 2 4 Q(z) t 3 2 + 2t + t 2

1+t P(z)=1−1+ 2 4

Q(z) 2t 3 4t 2 + 2t + t 2 Enrevenantàlavariablez,P(z) = 1

simples relatifs aux pôles j et -j. On pose t = z - j. Ilvientalors: z+1 = 1+j+t

4t(2j +t)

2 4+ 2 4

t 3 (2 + 2 t + t 2 )

t 3 (2 + 2 t + t 2 )

−

1 + 4(z−1)

z + 1 4(z2 +1)

z+1 4(z2 +1)

Q(z) 2(z−1)3 On peut alors continuer et décomposer

=

z + 1 4(z− j)(z+ j)

en éléments