Devoir de maths 1 CG

...

+ (-(x^3-12x^2+50x+98)/x^2 )

M’(x) = (x(3x^2-24x+50)- x^3+12x^2-50x-98)/x^2

M’(x) = (3x^3-24x^2+50x- x^3+12x^2-50x-98)/x^2

M’(x) = (〖2x〗^3-12x^2-98)/x^2

M’(x) = (2 (x^3-6x^2-49))/x^2

M’(x) = (2 )/x^2 (x^3-6x^2-49)

Or (x – 7) ( x^2+x+7)= x^3+ x^(2 )+7x-7x^2-7x-49

(x – 7) ( x^2+x+7) = x^3-6x^2-49

Donc pour tout x ≠ 0, on a M’(x) = 2/x^2 (x – 7) (x^2+x+7).

2 / Compléter le tableau suivant :

x 0 7 15

Signe de 2/x^2 + +

Signe de (x - 7) 0 +

Signe de

x^2+x+7

+ +

Signe de M’(x) 0 +

Sens de variation de M

29

3 / Pour quelle valeur de x , le coût moyen unitaire est-il minimum ? Que vaut ce coût moyen unitaire ?

M’ < 0 sur ]0 ; 7[, s’annule pour x = 7 puis M’>0 sur ]7 ; 15[.

Le courbe M est donc décroissante sur ]0 ; 7[ et croissante sur ]7 ; 15[ et présente un minimum en x = 7.

Ce minimum représente le coût moyen unitaire minimum en x = 7.

M(7) = (7^3- 〖(12X7〗^(2))+(50X7)+98)/7 = 29.

Le coût moyen unitaire est minimum en x = 7 et vaut 29 €.

4 / On appelle coût marginal pour x centaines, le coût de fabrication de la (〖x+1)〗^e centaine quand on a fabriqué x centaines. Ce coût marginal est approximativement égal à la dérivée de la fonction C.

Vérifier que : M’(x) = ([xC^’ (x)]-C(x))/x^2

En déduire que : M’(x) = 0 lorsque C’(x) = M(x)

On sait que : C(x) = x^3-12x^2+50x+98

Et : C’(x) = 3x^2-24x+50

Donc : ([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 = ([x (3x^2-24x+50)]-(x^3-12x^2+50x+98))/x^( 2)

([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 = (3x^3-24x^2+50x- x^3+12x^2-50x-98)/x^2

([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 = (2x^3-12x^2-98)/x^2

([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 = (2(x^3-6x^2-49))/x^2

([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 = (2 )/x^2 (x^3-6x^2-49)= M’(x)

Par conséquent nous avons bien M’(x) = ([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 .

Commentaires du correcteur :

On sait que : M’(x) = ([xC^’ (x)]-C(x))/x^2 et M(x) = (C(x))/x

Si C’(x) = M(x), alors M’(x) = (x X (C(x))/x-C(x) )/x^2

M’(x) = (C(x)-C(x))/x^2

M’(x) = 0

Par conséquent, si C’(x) = M(x), M’(x) = 0.

5 / Sur le graphique N°1, on a représenté les fonctions C’ et M. D’après ce graphique, comment retrouve – t – on le résultat de la question précédente ?

Sur le graphique N°1, lorsque la courbe M coupe la courbe C’, soit lorsque

M(x) = C’(x), M présente un minimum en un point, que l’on peut nommer A, de coordonnées (7 ; 29). En ce point, la courbe passe de décroissante à croissante, donc la pente en la tangente en ce point est nulle.

Par conséquent, M’ étant la pente de la tangente à la courbe M en ce point,

M’(x) = 0 où M(x) = C’(x).

Si on décide de fabriquer 700 coffrets, combien coûterait la fabrication d0’une centaine de coffrets supplémentaires ?

Comme M’(x) représente le coût marginal pour x centaines, on doit calculer

M’(x) lorsque x = 7

M’(x) = (2 )/x^2 (x^3-6x^2-49)

M’(7) = (2 )/7^2 (7^3-6〖X7〗^2-49)

M’(7) = 0

Même question si on décidait de fabriquer 1000 objets ?

Calculons M’(x) lorsque x = 10, c’est-à-dire 10 centaines de coffrets

M’(x) = (2 )/x^2 (x^3-6x^2-49)

M’(10) = (2 )/〖10〗^2 (〖10〗^3-6〖X10〗^2-49)

M’(10) = 7,02

Partie B

1 / En utilisant le graphique :

a/ Pour quelle position de la droite du chiffre d’affaire par rapport à la courbe du coût total obtient-on un résultat d’exploitation positif ?

On obtient un résultat d’exploitation positif quand la droite du chiffre d’affaire passe au-dessus de la courbe du coût total ; soit entre A et B ou approximativement dans d’intervalle] 3,4 ; 11,2[

b/ Déterminer approximativement la valeur de x pour laquelle le résultat d’exploitation est maximal.

Le résultat d’exploitation est maximal lorsque que l’écart entre la courbe du coût total C et la droite du chiffre d’affaire D est maximal, avec D > C .

Il est maximum approximativement quand x = 8

2/ Vérifier que la dérivée de la fonction s’écrit : h’(x) = - 3x^2+24x

h(x) = 50x - C(x)

h(x) = 50x - [x^3-12x^2+50x+98]

h(x)

...