Cours sur les exponentielles
Par Ninoka • 7 Juillet 2018 • 1 314 Mots (6 Pages) • 437 Vues
...
Le graphique précédent permet de plus de comparer le comportement en +∞ des fonctions x ↦→ ln(x), x ↦→ x et x ↦→ ex. On revoit que ln(x) est x→+∞
lim
De ln(x)
même, = ex 0.
est prépondérant négligeable devant x lorsque x tend vers 0 et +∞ : x→0 lim xln(x) devant x en −∞ et +∞.
= 0 et
Propriété x→−∞
lim
xex = 0, et x→+∞
lim
ex
Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/ Fonctions exponentielles - TSTI2D - 3/5
x
= +∞.
Plus généralement, pour tout entier n, lim
x→−∞
exp′(x) = exp(x)
x
exp
x
−∞ +∞
0
xnex = 0, et lim
x→+∞
+
+∞
xn
ex
= +∞.
---------------------------------------------------------------
Exercice 6 Déterminer les limites suivantes, et interpréter graphiquement le résultat, en terme d’asymp- tote, lorsque cela est possible :
a) x→+∞
lim
e−x2
+ ex
e) x→+∞
lim
e2x + ex + 3x b) x→−∞
lim
e2x + ex + 5x3 c) x→+∞
lim
10 − e−0,1x d) x→−∞
lim
ex
e−3x
Exercice 7 On consid`ere la fonction f définie sur IR par l’expression f(x)=(−x2 − 2x + 2)e−x + 3.
1. Déterminer la fonction dérivée f′ de f et montrer que f′(x)=(x2 − 4)e−x.
En déduire le signe de f ′(x) puis le sens de variation de f. 2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞. 3. On consid`ere la fonction F définie sur IR par F(x)=(x2 + 4x + 2)e−x + 3x.
Vérifier que F est une primitive sur IR de f.
Exercice 8 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ex −
x
)
.
d) Dresser le tableau de variation complet de f.
II - Fonction exponentielle de base a
1) Définition
Soit un nombre réel a > 0. Pour tout entier relatif n, on a vu que ln (an) = nln(a), donc exp (ln (an)) = an = exp (nln(a)). Or, l’expression exp (nln(a)) existe pour tout nombre réel n, pas seulement entier relatif. On peut ainsi étendre la définition, et la notation, des puissances :
Définition Pour tout réel a > 0 et tout réel b, ab = eb ln(a).
Exemple : • 32,6 = e2,6 ln(3) ≃ • 2
1
×π ≃
Définition Pour a > 0, on appelle fonction exponentielle de base a, la fonction x ↦→ ax = ex ln(a).
Remarques : • La fonction exponentielle, réciproque du logarithme népérien, est la fonction exponen- tielle de base e : ex = ex ln(e).
• La fonction exponentielle de base 10 est la fonction réciproque du logarithme décimal, ou logarithme de base 10 : 10x = ex ln(10).
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− 1 et C sa courbe représentative.
1. a) Déterminer x→−∞
lim
f(x).
b) Vérifier que, pour tout réel x non nul, f(x) = x
(
ex
f(x).
2. a) Déterminer la fonction dérivée f ′ de f.
b) Résoudre dan IR l’inéquation ex −
1
ln(2) •
√
≃
⩾ 0.
En déduire le signe de f ′(x).
c) Calculer la valeur exacte de f
(
ln
1
2
( π
= eπ ln
ex + 3
√
) 2
= e
f) lim
x→+∞
π
2
...