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Nombre complexes

Par   •  14 Mars 2018  •  1 499 Mots (6 Pages)  •  447 Vues

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...

note M(z) et w

!"

(z).

Exemple :

Le point M(3 ; 2) a pour affixe le nombre complexe z = 3+ 2i .

De même, le vecteur w

!"

a pour affixe z = 3+ 2i .

Propriétés : M(zM ) et N( zN ) sont deux points du plan.

u

!

(z) et v

!

(z’) sont deux vecteurs du plan.

a) Le vecteur MN

!!!!"

a pour affixe zN − zM .

b) Le vecteur u

!

+ v

!

a pour affixe z + z’ .

c) Le vecteur ku

!

, k réel, a pour affixe kz.

d) Le milieu I du segment [MN] a pour affixe zI = zM + zN

Démonstration :

a) On pose : M(xM ; yM ) et N(xN ; yN ).

Le vecteur MN

!!!!"

a pour coordonnées xN − xM ; yN − y ( M ) donc son affixe est égal à

xN − x ( M ) + i yN − y ( M ) = xN + iyN − xM + iy ( M ) = zN − zM .

b) et c) : Démonstrations analogues en passant par les coordonnées des vecteurs.

Autres exemples :

II. Conjugué d’un nombre complexe

Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib .

On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre, noté z, égal à a − ib .

Exemples :

- z = 4 + 5i et z = 4 − 5i

- On peut également noter :

7 − 3i = 7 + 3i ; i = −i ; 5 = 5

Remarque :

Les points d’affixes z et z sont symétriques

par rapport à l’axe des réels.

5

Propriétés : Soit z et z ’ deux nombres complexes et n entier naturel non nul.

a) z = z b) z + z’ = z + z’ c) z × z’ = z × z’

d) z n = z n e) 1

z

⎟ = 1

z

, z ≠ 0 f) z

z’

⎟ = z

z’

, z’ ≠ 0

Démonstrations :

On pose z = a + ib et z’ = a’+ ib’ avec a, b, a’ et b’ réels.

a) z = a + ib = a − ib = a + ib = z

b) z + z’ = a + ib + a’+ ib’

= a + a’+ i(b+ b’)

= a + a’− ib− ib’

= a + ib+ a’+ ib’

= z + z’

c) e) f) Démonstrations analogues

d) On procède par récurrence.

• L’initialisation pour n = 1 est triviale.

• Hérédité :

- Hypothèse de récurrence :

Supposons qu’il existe un entier k >1 tel que la propriété soit vraie : z

k = z

k

.

- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : z

k +1 = z

k +1

.

z

k +1 = z

k × z = z

k × z = z

k × z = z

k +1

• Conclusion :

La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D’après le principe

de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : z n = z n .

Propriétés :

a) z est réel ⇔ z = z b) z est imaginaire pur ⇔ z = −z

Démonstrations :

z = z

⇔ a + ib = a − ib

⇔ 2ib = 0

⇔ b = 0

z = −z

⇔ a + ib = −a + ib

⇔ 2a = 0

⇔ a = 0

Propriété : Soit z = a + ib un nombre complexe alors zz = a

2 + b2

.

6

Démonstration :

zz = (a + ib)(a − ib) = a

2 − (ib)

2

= a

2 − i

2

b2

...

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