Chapitre 1 : proportion et évolution

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Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Si la dérivée s’annule en un point et qu’elle change de signe, alors la fonction admet en ce point un minimum ou un maximum.

Ex : f(x) = x² - x +

F’(x) = x –

F’(x) = pour x = 1

Exercice fonction degré 1 et 2

- C(n) = 0,25 * n² - 4 * n + 20 = coût production d’une unité

- Fonction logarithme nepérien

- Définition et caractéristiques

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞[

A tout nombre réel strictement positif, on associe le nombre ln (x)

En pratique, ce nombre s’obtient par la fonction ln à la calculatrice ou sur ordinateur.

Elle est telle que : ln(1) = 0 lnx0 si x>1

La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0 ; +∞[

- Propriétés

a* propriété fondamentale

Pour tous réels a et b strictement positifs, on : ln (a*b)= ln(a) + ln(b)

b* autres propriétés

ln(a/b)= ln(a) – ln(b)

ln(a puissance b)= bxln(a)

Exemple : on place un capital de 1000€ qui augmente chaque mois de 3%

Au départ : 1000€, au bout d’un mois : 1000x1.03, au bout de deux mois : (1000x1.03)x1.03= 1000x1.03², au bout de n mois : 1000x(1.03)n

On cherche au bout de combien de mois le capital a doublé ?

2000= 1000x(1.03)n

Si j’utilise la fonction ln :

Ln(2000)= ln(1000x(1.03)n) or ln(1000x(1.03)n)= ln((1.03)n)= ln(1000)+ln1.03

Ln(1000) + n * ln(1.03)= ln(2000)

N*ln(1.03)= ln(2000) – ln(1000)

N= ln(2000) – ln(1000) / ln(1.03)= 23.45

Donc le capital aura doublé au bout de 24 mois

- A voir

- Fonction exponentielle de base e

- Définition et caractéristiques

La fonction exponentielle de base e est définie sur R. A tout réel x, on associe exp(x) = eˣ, qui est un nombre strictement positif.

La fonction est croissante sur R. Sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses.

- Propriété et lien entre ln et exp

e˚= 1

eˣ ⬄ x

eˣ > 1 ⬄ x > 0

Pour tous réels a et b, on a :

eᵅ+ᵇ = eᵅ x eᵇ

Pour tout réel x, on a : ln(eˣ) = x

Conséquence : si eˣ = A, ln(eˣ)

x= lnA

Pour tout réel, x > 0,

E(lnx) = x

Ex :

- Calculer : e3

- Calculer : 1/e3

- Calculer e-3

- Conclure

eᵅ+ᵇ = eᵅ x eᵇ

eᵅ-ᵅ = eᵅ x e-ᵅ

e˚= eᵅ x e-ᵅ

1 = eᵅ x e-ᵅ

Résolution :

L’équation lnx = k a une unique solution x= eᵏ

L’équation eˣ= k, avec k > 0, a une unique solution x = lnk

- Variation absolue et variation relative

- Définition

Soit f une fonction, et x1 et x2 deux réels appartenant à l’ensemble de définition de f, tels que x1

La variation absolue correspondante est : f(x2) – f(x1)

La variation relative peut être calculée si f(x1) ≠ 0 ; f(x2) – f(x1) / f(x1)

Exemple

F(x) = x2 – 1

x1 = 4

x2 = 5

Calculer la variation absolue, puis la variation relative

- Variation absolue : f(x1)

F(x1)= 4² - 1 =15

F(x2) = 5² - 1 = 24

F(x2) – (fx1) = 24 – 15 = 9

- Variation relative

f(x2= - f(x1) / f(x1) = 24 – 15 / 15 = 9 / 15 = 0.6

- Application aux fonctions usuelles

Le pas h est est l’écart entre x et x + h

Par exemple :

H = 1

X = 1, 2, 3, 4 …

On s’intéresse à des valeurs de fonction données à intervalles réguliers (on dit alors que le pas est constant)

Propriété

A intervalles réguliers (ou à pas constant)

- Si la variation absolue de la fonction f est constante, alors c’est une fonction affine.

- Si la variation

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