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Analyse complexe

Par   •  3 Décembre 2017  •  683 Mots (3 Pages)  •  522 Vues

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...

On sait aussi que [pic 81]

Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ sin(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 82][pic 83]

Pour :[pic 84]

Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} avec [pic 85][pic 86]

On sait aussi que [pic 87]

Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ ch(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 88][pic 89]

:[pic 90]

Le domaine de définition de cette fonction est ℂ - {} avec [pic 91][pic 92]

On sait aussi que [pic 93]

Or, comme la fonction exponentielle est holomorphe sur ℂ, la somme de fonction exponentielle est aussi holomorphe sur ℂ ↔ sh(z) est holomorphe sur ℂ ↔ la fonction est donc holomorphe sur ℂ - {}.[pic 94][pic 95]

Exercice 2

On note :

[pic 96]

- Montrer que P est une fonction harmonique et trouver les fonctions Q telles que P et Q soient harmoniques conjuguées.

On a :

[pic 97][pic 98]

Donc :

[pic 99]

La fonction est harmonique.

Pour les fonctions Q, telle que P et Q soient harmoniques conjuguées, on cherche donc Q telles que :

[pic 100]

[pic 101]

On a donc :

[pic 102]

Notons bien que est une fonction ne dépendant que de x. [pic 103]

On dérive Q par rapport à x : [pic 104]

Mais on a aussi: [pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

(C constante).[pic 108]

↔ [pic 109]

2) Trouver les fonctions f de la variable complexe telles que : [pic 110][pic 111]

et exprimer f en fonction de z.

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

Exercice 3 :

Calculé le rayon de convergence des série suivantes

- [pic 120]

- [pic 121]

- [pic 122]

Pour :[pic 123]

: Cette série est une série de Riemann, de la forme :[pic 124]

[pic 125]

Or une série de Riemann converge si et seulement si α>1. Ici, α=1, donc la suite diverge, donc le rayon de convergence est nul.

Le rayon de la série R = +∞

:[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

[pic 133]

Le rayon de la série R = 0

[pic 134]

[pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

Le rayon de convergence de la suite R = 1

...

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